99 bài tập & cách giải tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) – giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức là một trong những dạng bài toán khó của chương trình toán trung học cơ sở. Dạng bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi và đề thi nâng cao từ lớp 6 đến lớp 9. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về các dạng bài toán tìm giá trị nhỏ nhất và một số bài tập minh họa đơn giản giúp các em có thể hiểu rõ hơn về dạng toán này nhé.

Dạng bài số 1: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Tính chất ΙxΙ ≥ 0. Chúng ta sẽ biến đổi biểu thức bất kì A về dạng A ≥ a (với một số a đã biết trước), từ đó có thể suy ra giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức A là a. Đối với bài tập đi tìm giá trị lớn nhất (GTLN), biến đổi biểu thức bất kì B về dạng B ≤ b , vậy giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức B là b

Dạng bài số 2: Dạng toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hai biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

Đối với những biểu thức có chứa hai hạng tử và là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, áp dụng tính chất:

Với mọi x,y ∈ Q, có:             Ιx+yΙ ≤ ΙxΙ + ΙyΙ

Ιx-yΙ ≥ ΙxΙ – ΙyΙ

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = (x-15)² – 12

B = -24 + Ιx-8Ι

C = 2(x-4)² + 19

D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

Gợi ý:

  • Trong 2 ý a) và c) ta thấy hạng tử (x-15)² và hạng tử (x-4)² Ιx-8Ι(có chứa dấu giá trị tuyệt đối) luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi x. 
  • Đối với ý b) và d) là bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ xét theo 2 phương pháp tìm GTLN – GTNN cho bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lời giải:

a) A=(x-15)² – 12

(x-15)² ≥ 0 ∀ x ⇒ (x-15)² – 12 ≥ -12  ∀ x

⇒ A ≥ -12 ∀x

Dấu “=” xảy ra x – 15 = 0 ⇔ x =15

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A = -12 khi x=15

b) B = -24 + Ιx-8Ι

Ta có: Ιx-8Ι ≥ 0  ∀ x ⇒ -24 + Ιx-8Ι ≥ -24  ∀ x

⇒B ≥ -24 ∀ x

Dấu “=” xảy ra x – 8 = 0 ⇔ x = 8

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của B = -2 khi x = 8

c) C = 2(x-4)² + 19

Ta có: (x-4)² ≥ 0  ∀x ⇒ 2(x-4)² ≥ 0  ∀x

⇒ 2(x-4)² ≥ 19  ∀x

⇒ C ≥ 19 ∀x

Dấu “=” xảy ra x – 4 = 0 ⇔ x = 4

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của C = 19 khi x=4

d) D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

Vì Ι= Ι-xΙ ⇒ Ιx-2019Ι = Ι(2019-x)Ι, ta có:

D = Ιx-1Ι + Ιx-2019Ι

D = Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ

Vì Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ ≥ Ιx-1 + 2019-xΙ

⇒ Ιx-1Ι + Ι2019-xΙ ≥ 2018

⇒ D ≥ 2018

Vậy GTNN của D = 2018

Bài tập 2: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = 2Ι23x-1Ι – 4

 Vì: Ι23x-1Ι ≥ 0 ∀x ⇒ 2Ι23x-1Ι ≥ 0  ∀ x ⇒ 2Ι23x-1Ι – 4 ≥ -4

⇒ K ≥ -4 ∀x

Dấu “=” xảy ra 23x – 1 = 0 ⇔ x = 1⁄23

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của K = -4 khi x = 1⁄23

Dạng bài tập số 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một tam thức bậc hai

Biểu thức minh họa: ax² + bx + c. Đối với dạng bài tập có chứa biểu thức là tam thức bậc hai, ta sẽ biến đổi biểu thức đã cho về dạng bình phương của một tổng (hoặc một hiệu) cộng, trừ một số tự do.

Minh họa biểu thức sau biến đổi:

  • d – (a±b)² ≤ d. d sẽ là giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
  • (a±b)² ± e ≥ e. e sẽ là giá trị lớn nhất của biểu thức.

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của các biểu thức sau:

A = 2x² – 8x + 1

B = -5x² – 4x + 1

Lời giải:

A=2x² -8x +1 ⇔ A = 2(x-2)² – 7

(x-2)² ≥ 0 ∀x ⇒ 2(x-2)² ≥ 0 ∀x ⇒ 2(x-2)² – 7 ≥ -7 ∀x

⇒ A – 7 ≥ -7 ∀x

Dấu “=” xảy ra x-2 = 0 ⇔ x=2

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A = -7 khi x=2

B = -5x² – 4x + 1 ⇔ A = -5(x² +4⁄5 x) +1 = -5(x² + 2 2⁄5 x + 4⁄25) + 9⁄5 = -5(x +2⁄5)² + 9⁄5

(x +2⁄5)² ≥ 0 ∀x ⇒ -5(x +2⁄5)² ≤ 0 ∀x ⇒ -5(x +2⁄5)² + 9⁄5  ≤ 9⁄5  ∀x

⇒ B ≤ 9⁄5  ∀x

Dấu “=” xảy ra x +2⁄5 = 0 ⇔ x = -2⁄5 

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A = 9⁄5  khi x = 2⁄5