Lý thuyết & 99 bài tập hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông là kiến thức nâng cao và có dạng bài tập hình học liên quan đến công thức lượng giác. Đối với các bạn học sinh lớp 9, đây là một trong số những kiến thức nền cơ bản được học và sẽ áp dụng để giải bài tập toán học cấp 3. Vậy hệ thức lượng trong tam giác vuông gồm có những phần kiến thức cơ bản nào? Và làm thế nào để có thể ghi nhớ, vận dụng kiến thức đó để giải bài tập tốt hơn? 

Bài viết bên dưới đây sẽ tổng hợp kiến thức quan trọng về hệ thức lượng trong tam giác vuông đầy đủ nhất.

1. Các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao trong một tam giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A, dựa theo hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có 3 dạng hệ thức liên quan như sau:

a) Hệ thức về cạnh trong tam giác vuông

b2=ab’ c2=ac’ a2=b2+c2

b) Hệ thức về đường cao trong tam giác vuông

h2=b’c’  a.h = b.c  1h2=1b2+1c2

c) Hệ thức liên quan đến cạnh và góc trong tam giác vuông

b = a.sinB;                                  c = a.sinC b = a.cosC;                                c = a.cosB b = c. tanB;                                c = b.tanC  b = c.cotC;                                 c = b.cotC

d) Những dấu hiệu cơ bản giúp nhận biết một tam giác vuông

  • Nếu trong một tam giác bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh của tam giác đó bằng một nửa cạnh đó thì có thể kết luận là tam giác vuông.
  • Cách vẽ tam giác vuông chỉ với 2 bước cơ bản dùng thước kẻ và compa:

B1: trên mặt phẳng cho sẵn, vẽ một nửa đường tròn tâm O với đường kính BC.

B2: Chọn một điểm A bất kì nằm trên nửa đường tròn tâm O ta được ΔABC vuông tại A.

2. Các công thức tính tỉ số lượng giác của góc nhọn

3. Các dạng bài tập liên quan đến hệ thức lượng trong tam giác vuông

3.1 Dạng bài toán 1: Tính độ dài một đoạn thẳng trong tam giác vuông

  • Xác định độ dài của cạnh huyền
  • Áp dụng hệ thức về độ dài cạnh và đường cao.
  • Sử dụng tỉ lệ thức để tính

3.2 Dạng bài toán 2: Tìm độ dài các cạnh trong tam giác bằng phương pháp dựng đoạn pytago; dựng đoạn trung bình nhân 

1. Dựng đoạn thẳng Pytago

Loại 1: Cho hai đoạn thẳng bất kỳ a và b. Ta sẽ vẽ đoạn thẳng

x=a2+b2

từ đó có

x2=a2+b2

Vậy ta sẽ dựng được tam giác vuông với a và b là 2 cạnh góc vuông; cạnh huyền bằng x.

Loại 2: Cho hai đoạn thẳng bất kỳ a và b. Dựng đoạn thẳng sao cho

y=a2-b2

(với a>b) từ đó có 

y2+b2=a2

 

Vậy ta sẽ dựng được tam giác vuông có cạnh huyền là a, cạnh góc vuông thứ nhất là b và cạnh còn lại là y

2. Dựng đoạn trung bình nhân

Cho trước hai đoạn thẳng a và b. Dựng đoạn thẳng x = √ab

Dựng tam giác ABC vuông tại A,với độ dài cạnh huyền BC = a + b , suy ra đường cao tương ứng với cạnh huyền đó là x với BH = a và HC = b

3.3 Dạng bài toán 3: Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh các hệ thức hình học

Bước 1. Trong tam giác vuông chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức, áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao để tính các cạnh còn lại. 

Bước 2. Liên kết các giá trị đã tính được và dữ kiện đã cho để kết luận hệ thức đã cho luôn đúng.

4. Bài tập vận dụng:

Bài tập: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, tìm x và y:

Ta có tam giác vuông nhỏ với cạnh huyền bằng 10; cạnh góc vuông bằng 8. Áp dụng hệ thức về cạnh 

a2=c’2+h2 ⇒102=82+h2⇒h2=36⇒h=6

Ta có tam giác vuông to, áp dụng hệ thức về đường cao:

h2=b’c’⇒36=8x⇒x=4.5

Ta có tam giác vuông to, áp dụng hệ thức về cạnh:

c2=b’2+a2⇒(8+4.5)2=102+y2⇒y2=56.25⇒y=7.5

Vậy x = 4.5 và y = 7.5