Phương trình trùng phương và cách giải

Phương trình trùng phương – tưởng giống nhưng lại khác với phương trình bậc hai, vậy phương trình trùng phương là gì? Phương trình trùng phương có những tính chất gì? Có mấy phương pháp giải phương trình trùng phương? Trong bài ngày hôm nay chúng ta sẽ cùng đi nghiên cứu và giải các dạng bài tập tiêu biểu liên quan đến phương trình trùng phương.

1. Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng:

Ta có:

  • Phương trình trùng phương (1) có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi
    • c = 0 và b/a ≤ 0. Khi đó nghiệm của phương trình là x=0
  • Phương trình trùng phương (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
    • Δ = 0 và b/ a < 0 hoặc Δ > 0 và c/a < 0
  • Phương trình trùng phương (1) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
    • c = 0 và b/a < 0 trong đó có 1 nghiệm bằng 0
  • Phương trình trùng phương (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
    • Δ > 0 và b/a < 0 và c/a > 0.
    • Phương trình có 4 nghiệm và tích của 4 nghiệm x1.x2.x3.x4 = c/a
  • Phương trình trùng phương (1) vô nghiệm khi
    • Δ < 0 hoặc Δ > 0 và b/a > 0 và c/a < 0

2. Phương pháp giải

Phương pháp 1: Đưa phương trình trùng phương về dạng phương trình tích

  • Dựa vào phương trình ban đầu, ta sẽ biến đổi bằng cách đặt nhân tử chung, sử dụng hằng đẳng thức,… để được phương trình mới có dạng một tích của các biểu thức. Sau đó tiến hành giải phương trình mới.
  • Tổng quát: A.B = 0 ⇔ A = 0 hoặc B=0

Phương pháp 2: Giải phương trình trùng phương bằng phương pháp đặt ẩn

Ta có: với a ≠ 0

  • Bước 1: Đặt ẩn t = x² với điều kiện t ≥ 0
  • Bước 2: Tiến hành giải phương trình bậc 2 ẩn t: at² + bt + c = 0 để tìm t
  • Bước 3: Tìm ra giá trị x thỏa mãn điều kiện t = (t ≥ 0)bằng cách giải phương trình t = x²
  • Bước 4: Kết luận nghiệm của phương trình trùng phương

***Lưu ý: Đối với tất cả các dạng bài toán về phương trình trùng phương giải theo cách đặt ẩn, học sinh cần thực hiện theo đủ 4 bước như trên để đạt điểm trình bày tối đa.

3. Bài tập

Bài tập 1: Giải phương trình 

Lời giải

  • Bước 1: Đặt t = x² điều kiện t ≥ 0
  • Bước 2: Ta có phương trình mới: t² – 5t + 4 = 0 (1)
    • Giải phương trình (1): (t – 1)(t – 4) = 0 ⇔ t = 1 hoặc t = 4
    • Với t = 1 hoặc t = 4 thỏa mãn điều kiện t0
  • Bước 3: Tìm x
    • Với t = 1 ⇔ x² = 1 ⇔ x = ±1
    • Với = 4 ⇔ x² = 4 ⇔ x = ±2
  • Bước 4: Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt S = {-2; -1; 1; 2}\

Bài tập 2: Giải phương trình

Lời giải

Ta có:

  • Bước 1: Đặt t = (2x)² điều kiện t ≥ 0
  • Bước 2: Ta có phương trình mới: t² – 2t + 1 = 0 (1)
    • Giải phương trình (1) (t – 1)² = 0 ⇔ t = 1
    • Với t = 1 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
  • Bước 3: Tìm x
    • Với t = 1 ⇔ (2x)²=1 ⇔ x = ±1 ⇔ x = 0.5 hoặc x = – 0.5
  • Bước 4: Vậy phương trình  có 2 nghiệm phân biệt S = {-0.5; 0.5}

Bài tập 3: Giải phương trình

Điều kiện: x ≠ 0

Ta có

Vậy phương trình có 4 nghiệm phân biệt lần lượt là 

Bài tập 4: Giải phương trình

  • Bước 1: Đặt t = (x)² điều kiện t ≥ 0
  • Bước 2: Ta có phương trình mới: 9t² – 10t + 1 = 0 (1)
    • Giải phương trình (1), ta có: (t – 1)(9t – 1) = 0
    • Với t =1 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
    • Với t = 1/9 thỏa mãn điều kiện t ≥ 0
  • Bước 3: Tìm x
    • Vì t = 1 nên x² = 1 ⇔ x = ±1
    • Vì t = 1/9 nên = 1/9 ⇔ x = ±1⁄3
  • Bước 4: Vậy phương trình 9x4 – 10x2+ 1 = 0 có 4 nghiệm phân biệt S={-1; -1/3; 1/3; 1}

*** Nhắc nhở: Bài tập về phương trình trùng phương là dạng bài toán tương đối đơn giản tuy nhiên lại rất dễ gây nhầm lẫn. Vì vậy khi làm bài phải chú ý điều kiện để đặt ẩn và sau khi giải ra nghiệm của phương trình mới, các em cũng phải lưu ý so sánh về điều kiện của nghiệm cũ. Và chú ý bước cuối cùng là bước kết luận. Trong bài kiểm tra, bước đặt điều kiện và kết luận thường chiếm từ 0.25 -> 0.5 điểm toàn bài. Hẹn gặp lại các bạn trong các dạng bài toán sau.