Tính tổng dãy số có quy luật toán lớp 6

Bài toán về tính tổng dãy số có quy luật là một trong những dạng bài tập vận vận dụng, vận dụng cao trong chương trình toán 6, và được áp dụng, biến hóa thành nhiều dạng bài khác nhau và là kiến thức quan trọng để giải bài tập ở các lớp cao hơn. Dạng toán này thường được vận dụng vào làm câu hỏi nâng cao, bài tập trong các kỳ thi học sinh giỏi, và giúp học sinh tư duy, linh hoạt hơn trong giải toán. Để làm tốt dạng bài tập này chúng ta hãy cùng cùng đi tìm hiểu về khái niệm, tính chất và phương pháp phân tích nhanh gọn, đơn giản nhất.

1. Thế nào là tính tổng một dãy số?

Đối với các bài toán yêu cầu tính tổng một dãy số, đề bài thường cho một dãy số có thể là tổng các số hạng, cũng có thể là hiệu gồm nhiều số hạng. Trong đó dấu của các số có thể là dương, có thể là âm hoặc biểu thức chứa cả số âm và số dương.

2. Tính tổng một dãy số có quy luật

Đối với các bài toán yêu cầu tính tổng một dãy số có quy luật, đề bài thường cho một dãy gồm nhiều số hạng mà khi ta phân tích từng số hạng sẽ tìm ra một quy luật giữa các số.  Trong dãy số đó, dấu của các phần tử có thể mang dấu âm hoặc chứa cả dấu âm và dấu dương.

Dạng toán 1: Tính tổng một dãy số có quy luật sử dụng phương pháp quy nạp

  1. Ví dụ minh họa: Tính tổng dãy số sau: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1)

Hướng dẫn giải:

  • Ta xét với số mẫu 2n – 1, thực hiện phép thử lần lượt

n=1, ta có: S1=(2.1-1)=1

n=2, ta có: S2= (2.1 – 1) + (2.2-1) = 4 = 2²

n=3, ta có: S2=(2.1 – 1) + (2. 2 – 1) + (2. 3 – 1) = 9 = 3²

Có thể thử thêm với các số theo thứ tự tăng dần. Tuy vậy, qua 3 phép tử trên a có thể nhận ra tổng Sn có thể bằng n²

  • Vậy phương pháp quy nạp là gì, và giải bằng phương phương pháp quy nạp như thế nào?
  • Ta sẽ đi chứng minh Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n² (*)

Với n = 1; S1 = 1 đúng

Nếu bài toán đúng với n = k (k ≠ 1) , ta có:

Sk = 1 + 3 + 5 + . . . + (2k – 1) = k²    (1)

Ta sẽ đi chứng minh (*) đúng với n=k+1, hay:

S(k+1) = 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)²    (2)

Vì ta đã tự khẳng định bài toán đúng với n = k nên ta có (1), sau đó ta sẽ đi chứng minh và biến đổi cho biểu thức (1) bằng biểu thức số (2). Ta có thể gọi biểu thức (1) là biểu thức quy nạp.

Ta có: 1 + 3 + 5 + . . . + (2k – 1) = k²

Ta cộng cả hai vế với k 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + (2k + 1) = k² + (2k + 1)

⇔ 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + (2k + 1) = k²+2k+1

⇔ 1 + 3 + 5 +…+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)²

Vậy bằng phương pháp quy nạp, ta có thể tính tổng dãy Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + (2n – 1) = n²

2. Trường hợp áp dụng

*** Vậy đối với một số trường hợp khi phải tính tổng một dãy số hữu hạn và ta có thể đoán được 1 phần kết quả, ta sẽ sử dụng phép quy nạp để chứng minh và tìm tổng dãy số đó.

Dạng toán 2: Tính tổng một dãy số có quy luật sử dụng phép khử liên tiếp

  1. Ví dụ minh họa: 

Tính tổng dãy số sau

Ta có:

2. Trường hợp áp dụng

*Trên đây là 2 phương pháp cơ bản để giải bài toán tính tổng dãy số có quy luật trong toán 6. Dạng bài tưởng như là nâng cao nhưng chỉ cần nắm chắc kiến thức cơ bản và giải lần lượt theo từng bước ở ví dụ minh họa là ta có thể giải hoàn tất bài toán. Hẹn gặp lại các bạn trong những dạng toán sau.