Bài tập về tìm phương trình đường thẳng lớp 10

Bài tập về phương trình đường thẳng có thể coi là bài toán ăn điểm trong nội dung toán lớp 10. Tuy đơn giản nhưng cũng có rất nhiều em học sinh gặp khó khăn trong việc phân loại dạng bài để giải, hay chưa có hướng đi khi bất ngờ gặp bài tập hơi khác với bài mẫu trong sách giáo khoa. Ở bài ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu những dạng bài tập thường gặp và phân loại các bài tập đó.

1. Bài toán 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng khi biết VTPT và 1 điểm thuộc đường thẳng đó.

Phương pháp giải:

Để viết phương trình tổng quát cho đường thẳng , chúng ta cần xác định 2 yếu tố:

• Điểm  thuộc đường thẳng Δ
• Vecto pháp tuyến của Δ

Khi xác định đủ 2 yếu tố trên, ta có phương trình tổng quát của Δ là

***Lưu ý: 

• Đường thẳng có phương trình tổng quát là ax + by +c = 0, a² + b² ≠ 0 nhận vecto  là vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
• Nếu cho hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT của đường thẳng này cũng chính là VTPT của đường thẳng kia.
• Cho phương trình đường thẳng đi qua điểm  , phương trình có dạng:

Khi đó ta chia là 2 trường hợp:

• Nếu như  thì đường thẳng song song với trục Oy.
• Nếu như thì đường thẳng cắt trục Oy.

• Bài tập vận dụng dạng 1:

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng (m) sau, biết đường thẳng (m) đi qua điểm có tọa độ M(1,2) và có VTPT n = (2; -3)

Giải: 

Vì đường thẳng (m) đi qua điểm có tọa độ M(1,2) và có VTPT n = (2; -3); nên ta có phương trình tổng quát của đường thẳng (m) là: 

2(x – 1) – 3(y – 2) = 0 hay 2x – 3y + 4 = 0

Bài 2: Viết phương trình dạng tổng quát của đường thẳng trong 2 trường hợp sau:

a) Đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ A(3;0) và B(1;3)

b) Đường thẳng đi qua điểm N(3;4) và vuông góc với một đường thẳng (m) có dạng:

 x = 1 – 3t và y = 4 + 5t

Giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là và đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB=(-2;3) là vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình dạng tổng quát của đường thẳng là 3(x – 3) + 2y = 0 hoặc 3x + 2y – 9 = 0

b) Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với (m) nên đường thẳng sẽ nhận vecto u=(-3;5) là VTPT và v=(-5;-3)là VTCP. Nên phương trình dạng tổng quát của đường thẳng có dạng:

-3(x – 3)  + 5(y – 4) = 0 hoặc 3x – 5y + 11 = 0.

3. Bài toán 2: Bài toán viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng.

Phương pháp giải:

Để viết phương trình tham số cho đường thẳng Δ, chúng ta cần xác định 2 yếu tố:

• Điểm  thuộc đường thẳng Δ
• Vecto chỉ phương  của Δ

Khi xác định đủ 2 yếu tố trên, ta có phương trình tham số của Δ  là:

Để viết phương trình chính tắc cho đường thẳng Δ, chúng ta cần xác định 2 yếu tố:

• Điểm  thuộc đường thẳng Δ
• Vecto chỉ phương  của Δ với ab ≠ 0

Khi xác định đủ 2 yếu tố trên, ta có phương trình chính tắc của Δ  là:

Trong trường hợp ab = 0 thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

 *** Lưu ý:

• Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và VTPT
• Nếu hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này chính là VTPT của đường thẳng kia và ngược lại.
• Nếu có VTCP dạng  u(a;b) thì vectơ có dạng n(-b;a) là một VTPT của Δ.

4. Bài tập vận dụng dạng 2:

Bài 3: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng trong hai trường hợp:

a) Đường thẳng đi qua 2 điểm có tọa độ A(3;0) và B(1;3)

b) Đường thẳng đi qua điểm có tọa độ N(3;4) và vuông góc với một đường thẳng (m) có phương trình:

 x = 1 – 3t và y = 4 + 5t

Giải:

a) Gọi đường thẳng cần tìm là Δ và đi qua hai điểm A và B nên nhận vecto AB=(-2;3) là vectơ chỉ phương.

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng Δ  có dạng là 

3(x – 3) + 2y = 0 hoặc 3x + 2y – 9 = 0

Vậy phương trình dạng tham số của đường thẳng Δ  là 

x = 3 – 2t và y = 3t

Vậy phương trình dạng chính tắc của đường thẳng Δ là

b) Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với (m) nên đường thẳng sẽ nhận vecto u=(-3;5) là VTPT và v=(-5;-3)là VTCP. Nên phương trình dạng tổng quát của đường thẳng Δ  là:

-3(x – 3)  + 5(y – 4) = 0 hoặc 3x – 5y + 11 = 0.

Phương trình dạng  tham số của đường thẳng Δ  là:

x = 3 – 5t và y = 4 – 3t

Vậy phương trình dạng chính tắc của đường thẳng Δ là