Lý thuyết – Bài tập cơ bản về đường tròn

Hình học toán lớp 9 bao gồm rất nhiều nội dung kiến thức mới và khó hơn so với các lớp dưới. Hình học 9 đòi hỏi các bạn học sinh cần chú ý về cả định nghĩa, tính chất và luyện tập thường xuyên để có thể nhìn nhận, phát hiện ra các vấn đề, từ đó khi làm bài kiểm tra có thể nhanh chóng giải quyết và đạt được kết quả như mong muốn. Ở bài tập về đường tròn ngày hôm nay, chúng ta sẽ cùng đi tìm hiểu khái quát thế nào là đường tròn và 2 dạng bài tập cơ bản nhất liên quan đến đường tròn.

1. Định nghĩa:

Đường tròn là gì; thế nào là vị trí tương đối của một điểm với đường tròn, đường tròn có những tính chất gì?

1.1 Đường tròn

• Khi ta có đường tròn tâm O bán kính R với R>0, đường tròn là hình gồm tất cả các điểm cách tâm O một khoảng có độ dài đúng bằng R.

1.2 Vị trí tương đối của một điểm bất kỳ với đường tròn

Giả sử đường tròn tâm O bán kính R được kí hiệu là  (O;R) và điểm M bất kì nằm trong mặt phẳng chứa đường tròn đó. Ta có:

• Nếu OM = R thì có thể kết luận M nằm trên đường tròn (O;R)
• Nếu OM < R thì có thể kết luận M nằm trong đường tròn (O;R)
• Nếu OM > R thì có thể kết luận M nằm ngoài đường tròn (O;R)

1.3 Tính chất của đường tròn

Đường tròn có tính chất đối xứng qua tâm và qua trục.

• Tâm của đường tròn gọi là tâm đối xứng
• Trục đối xứng của hình tròn là trục đường kính bất kỳ của đường tròn đó.

*** Qua 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng, ta chỉ có thể vẽ được duy nhất một đường tròn đi qua 3 điểm đó.

• 2 dạng bài tập thường gặp

2.1 Dạng toán 1: Bài toán chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 1 đường tròn

Phương pháp giải: Chứng minh các điểm bất kỳ đã cho cách đều 1 điểm cho trước

Ví dụ: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn là tam giác nội tiếp đường tròn (O), ba đường cao AD, BE, CF. Hãy chứng minh rằng, bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên đường tròn tâm O đó.

Theo giả thiết:

BE là đường cao ⇒ BE ⊥ AC ⇒ ∠BEC = 90°.

CF là đường cao ⇒ CF ⊥ AB ⇒ ∠BFC = 90°.

⇒ 2 điểm E và F cùng nhìn cạnh BC dưới một góc có số đo bằng 90°

⇒ 2 điểm E và F đều thuộc đường tròn tâm O đường kính BC.

⇒ Do đó bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn tâm O đường kính BC.

2.2 Dạng toán 2: Bài tập xác định tâm và bán kính của một đường tròn ngoại tiếp

* Phương pháp giải:

– Đối với tam giác thường: Đầu tiên sẽ vẽ hai đường trung trực,  và giao của 2 đường trung trực đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

– Đối với tam giác vuông: Tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông chính là trung điểm cạnh huyền của tam giác đó.

– Đối với tam giác cân: Tâm đường tròn ngoại tiếp một tam giác sẽ nằm trên đường cao được hạ từ đỉnh xuống đáy của tam giác đó.

– Đối với tam giác đều: Tâm của đường tròn ngoại tiếp sẽ trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp của chính tam giác đó.

3. Bài tập minh họa: 

Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Hãy tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.