Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Toán 8

Bài tập về giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 8 là một trong những dạng bài toán khó của chương trình toán trung học cơ sở. Dạng bài toán này thường xuyên xuất hiện trong các câu hỏi và đề thi nâng cao đến lớp 9 và thi vào THPT. Trong bài viết dưới đây, chúng ta sẽ cùng nhau đi tìm hiểu về các dạng bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 8 và một số bài tập minh họa đơn giản giúp các em có thể hiểu rõ hơn về dạng toán này nhé.

1. Tại sao lại gọi là giá trị tuyệt đối của một số là gì?

Giá trị tuyệt đối của một số a bất kỳ chính là khoảng cách tính từ điểm a đến điểm 0 trên trục số, khoảng cách đó được gọi là giá trị tuyệt đối của số a (điều kiện: a là số thực)

* Giá trị tuyệt đối của số a không âm sẽ là chính a, giá trị tuyệt đối của số âm a sẽ là số đối của số a.

• Nếu như a ≥ 0 thì |a| = a
• Nếu a < 0 thì |a| = -a
• Nếu như x – a ≥ 0 thì |x – a| = x – a
• Nếu x – a <0 thì |x – a| = a – x

2. Tính chất cơ bản của biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối

• Giá trị tuyệt đối của tất cả mọi số đều không âm.
• Với |a| ≥ 0 với mọi số bất kì a ∈ R. Ta có:
• |a| =0 khi và chỉ khi a = 0
• |a| ≠ 0 khi và chỉ khi a ≠ 0
• Với hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì giá trị tuyệt đối của hai số đó sẽ luôn bằng nhau. Và ngược lại, với hai số bất kỳ a và b có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng có thể là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.
  • Khi |a| = |b| ta có: a = b hoặc a = -b
  • Mọi số bất kì luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị đối của giá trị tuyệt đối của số đó và luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của số đó.
  • (–|a|) ≤ a ≤ |a| và -|a| = a khi a < 0; a = |a| khi a ≥ 0
  • Xét với hai số nhỏ hơn 0, số nào có giá trị nhỏ hơn thì giá trị tuyệt đối sẽ lớn hơn
  •  Nếu a < b < 0 sẽ có |a| > |b|
  • Xét với hai số dương, số nào có giá trị trong dấu trị tuyệt đối nhỏ hơn thì giá trị tuyệt đối sẽ nhỏ hơn
  • Nếu 0 < a < b sẽ có |a| < |b|
  • Khi tính giá trị tuyệt đối của một tích sẽ bằng tích các giá trị tuyệt đối đó.
  • |a.b| = |a|.|b|
  • Khi tính giá trị tuyệt đối của một thương sẽ bằng thương các giá trị tuyệt đối đó.
  • |a/b| = |a|/|b|
  • Bình phương trong dấu giá trị tuyệt đối của một số sẽ bằng bình phương của chính số đó: |a|² = a²
  • Tổng của hai giá trị tuyệt đối của nhiều hơn 2 số luôn luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của các số, khi đó dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi các số có cùng dấu.
  •  |a| + |b| ≥ |a + b| và |a| + |b| = |a + b| khi và chỉ khi ab ≥ 0

3. Bài tập vận dụng

3.1 Dạng bài số 1: Với những biểu thức có chứa hai hạng tử và là hai biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối, ta sẽ áp dụng tính chất:

Với mọi x,y ∈ Q, có:

Ιx+yΙ ≤ ΙxΙ + ΙyΙ

Ιx-yΙ ≥ ΙxΙ – ΙyΙ

Bài tập 1: 

a) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức K = 2 Ι23x – 1Ι – 4

 Vì: Ι23x – 1Ι ≥ 0  ∀ x ⇒ 2Ι23x – 1Ι ≥ 0 ∀ x

⇒  2Ι23x-1Ι – 4 ≥ -4 ∀ x ⇒ K ≥ -4 ∀ x

Dấu “=” xảy ra 23x-1=0 ⇒ x = 1⁄23

Vậy giá trị nhỏ nhất (GTNN) của K = -4 khi x = 1⁄23

b) D = Ιx – 1Ι + Ιx – 2019Ι

Vì ΙxΙ = Ι-xΙ  Ιx-2019Ι = Ι(2019-x)Ι, ta có:

D = Ιx – 1Ι + Ιx – 2019Ι

D = Ιx – 1Ι + Ι2019 – xΙ

Vì Ιx – 1Ι + Ι2019 – xΙ ≥ Ιx – 1 + 2019 – xΙ

⇒ Ιx – 1Ι + Ι2019 -xΙ ≥ Ι2018Ι = 2018 ⇒ D ≥ 2018

Vậy GTNN của D = 2018

Bài tập 2: 

a) |2x – 5| = 4

Ta có: |2x – 5| = 4 2x – 5 = 4 hoặc 2x – 5 = – 4

TH1: 2x – 5 = 4 x = 9⁄2

TH2: 2x – 5 = -4 x = ½

Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn: S = {½; 9⁄2 }

b) 1/3 – |5/4 – 2x| = ¼

Ta có: 1/3 – |5/4 – 2x| = ¼ ⇔ |5/4 – 2x| = ⅓ -¼ ⇔  |5/4 – 2x| = 1⁄12

TH1: 5/4 – 2x = 1⁄12 ⇔ x = 7⁄12

TH2: 5/4 – 2x = -1⁄12 ⇔ x = 2⁄3

Vậy có 2 giá trị x thỏa mãn: S = {7⁄12; 2⁄3}

3.2 Dạng toán 2: Tìm giá trị thỏa mãn phương trình có hai biểu thức chứa giá trị tuyệt đối.

Bài tập 3: Tìm giá trị x thỏa mãn

|x – 1| = |3x + 2|

Ta có: TH1: x – 1 = 3x + 2 ⇔ 2x = -3 ⇔ x = -3⁄2

TH2: x – 1 = -(3x + 2) ⇔ x – 1 = -3x – 2 ⇔  4x = -1 ⇔  x = -¼