Định lý Pytago – Tính chất quan trọng

Định lý Pytago (Pythagoras) được định nghĩa là một liên hệ căn bản giữa ba cạnh trong một tam giác vuông của hình học Euclid. Ngoài ra, định lý Pytago còn được coi là một trong số 17 phương trình giúp thay đổi nền toán học nói riêng và thế giới nói chung. Bài sau đây chúng ta sẽ đi tìm hiểu định lý Pytago là gì?, các tính chất và ứng dụng trong cuộc sống.

1. Định lý Pytago thuận là gì?

Định nghĩa: Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền (cạnh đối diện với góc vuông) sẽ bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

ABC  là tam giác vuông tại đỉnh A, ta có: BC² = AB² + AC²

Trong đó BC độ dài là cạnh huyền, AB và AC được gọi là hai cạnh góc vuông của tam giác.

Định lý Pytago trên trên đúng với mọi tam giác vuông. Từ công thức BC² = AB² + AC², ta có thể suy ra công thức tính cạnh huyền tam giác vuông như sau: BC = √(AB² + AC²).

2. Định lý Pytago đảo

Khái niệm: Nếu trong một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng bình phương của hai cạnh còn lại trong tam giác thì tam giác đó được gọi là tam giác vuông.

Ví dụ: Tam giác ABC có 3 cạnh AB, AC, BC thỏa mãn điều kiện BC² = AB² + AC² thì ta có thể nói tam giác ABC vuông tại A.

*** Định lý Pytago đảo là một trong những định lý quan trọng của hình học cơ bản. Định lý được sử dụng nhiều ở cả mạng đại số và hình học để chứng minh các dạng toán khác nhau, ngoài ra định lý Pytago đảo còn có nhiều ứng dụng trong thực tiễn. 

Từ định lý Pytago đảo ta có thể suy ra một số hệ quả sau:

Để xác định xem một tam giác thuộc loại tam giác gì (tam giác vuông hay tam giác nhọn hoặc tam giác tù). Ta sẽ đi kiểm tra theo từng bước sau:

Bước 1: Điều kiện xác định để hình thành một tam giác

Coi c là cạnh dài nhất của tam giác đó; ta cộng tổng hai cạnh a và b còn lại trong tam giác. Theo tính chất về bất đẳng thức trong tam giác; nếu có a + b > c, thì thỏa mãn điều kiện và 3 cạnh a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Nếu a+b < c thì không tồn tại tam giác.

Bước 2: Sau khi xác định  3 cạnh a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Ta có thể suy ra các kết luận dưới đây:

• a² + b² = c² thì tam giác đó là một tam giác vuông
• a² + b² > c² thì tam giác đó là một tam giác nhọn
• a² + b² < c² thì tam giác đó là một tam giác tù

Để rõ hơn về các tính chất và làm sao có thể áp dụng định lý Pytago vào giải các bài trong toán học, ta sẽ đi tìm hiểu về các tính chất quan trọng của định lý.

3. Các tính chất quan trọng của định lý Pytago thuận và Pytago đảo.

• Xét cạnh huyền trong một tam giác vuông, ta có thể thấy:
  • Cạnh huyền luôn cắt ngang và không đi qua góc vuông.
  • Cạnh huyền là cạnh dài nhất trong ba cạnh của tam giác vuông.
  • Cạnh huyền thường được kí hiệu là c trong định lý Pytago thuận và đảo.
• Quan sát bằng mắt thường, ta có thể suy ra cạnh ngắn nhất trong tam giác sẽ đối diện với góc nhỏ nhất của tam giác đó.
•  Trong tam giác vuông, chỉ có thể tính được cạnh thứ 3 của tam giác khi biết độ dài 2 cạnh
• Nếu không phải tam giác vuông, định lý Pytago sẽ không thể áp dụng và tính toán các cạnh của tam giác đó. Ta vẫn có thể tính được bằng cách áp dụng công thức hàm lượng giác (sin, cos, tan) được học ở bài sau khi biết số đo cạnh và góc của tam giác đó.
• Đối với bài tập yêu cầu tính toán, các bạn học sinh nên vẽ phác tam giác với các cạnh có giá trị gần chính xác theo yêu cầu của bài. Sau đó điền số đo các góc, cạnh để tránh nhầm lẫn. Đặc biệt, trong các dạng bài toán từ và bài toán logic thường được áp dụng nhiều hơn.
• Sau khi tìm xong giá trị được yêu cầu, phải kiểm tra cẩn thận lại kết quả và đảm bảo chắc chắn đó là kết quả đúng.

Trên đây là một vài những lưu ý quan trọng giúp các em học sinh có thể  sử dụng định lý một cách linh hoạt,xác định trong

Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC là một tam giác vuông tại A có cạnh AB = 4cm; cạnh AC = 3cm. tính độ dài của cạnh BC.

Xét tam giác ABC có ∠A = 90° Áp dụng định lý Pytago ta có 

AB² + AC² = BC² 

mà cạnh AB = 4cm và AC = 3cm nên ta có BC = √(AB² + AC²) = √(4² + 3²) = 5 

Vậy BC = 5 cm.